Matemático revela soluções para 10 enigmas festivos.

Padre Miguel Ângelo Ferreira • April 29, 2026 08:46

Aqui ficam as respostas ao quiz festivo de matemática lançado a 23 de dezembro. Espero que se tenha divertido.

Desafio 1

Recebe nove moedas de ouro aparentemente iguais. Dizem-lhe que uma delas é falsa e que essa moeda pesa menos do que as verdadeiras. Usando uma balança de pratos antiga, qual é o número mínimo de pesagens necessárias para descobrir qual é a moeda falsa?

Solução: Dá para resolver em apenas duas pesagens:

(1) Separe as nove moedas em três grupos de três e escolha dois desses grupos para colocar, um contra o outro, na balança. Se um dos grupos ficar mais leve, então a moeda falsa está nesse conjunto de três moedas. Se os dois grupos tiverem o mesmo peso, a moeda falsa está no grupo de três que não foi pesado.

(2) Pegue agora no grupo onde está a moeda falsa e pese duas dessas moedas entre si. Se uma ficar mais leve, essa é a falsa. Se tiverem o mesmo peso, então a falsa é a terceira moeda.

Desafio 2

Foi transportado no tempo para ajudar a preparar a ceia de Natal. A sua tarefa é cozer a tarte de Natal, mas só tem duas ampolhetas: uma mede exatamente quatro minutos e a outra mede exatamente sete minutos. Como consegue medir exatamente dez minutos?

Solução: Há mais do que uma forma de fazer isto, mas se a ideia do chef for que a tarte fique no forno o mais cedo possível, pode proceder assim:

Inicie as duas ampolhetas ao mesmo tempo.
Quando a ampolheta de quatro minutos terminar, a de sete minutos ainda terá três minutos por correr. Nesse momento, coloque a tarte no forno.
Quando acabarem esses três minutos restantes na ampolheta de sete minutos, volte a virá-la.
Deixe essa ampolheta correr os sete minutos completos e retire a tarte de imediato. Assim, a tarte terá estado no forno exatamente dez minutos.

Desafio 3

Agora deram-lhe a responsabilidade de distribuir o vinho quente, que está em dois barris cheios de dez litros. O chef entrega-lhe uma garrafa de cinco litros e uma garrafa de quatro litros, ambas vazias. Ordena-lhe que encha as garrafas com exatamente três litros de vinho cada, sem desperdiçar uma única gota. Como o faz?

Solução: Eis uma forma de o conseguir em 11 passos (ver tabela abaixo), registando as quantidades de vinho quente em cada barril e em cada garrafa. B1 e B2 são os dois barris de dez litros; b5 e b4 correspondem, respetivamente, às garrafas de cinco e quatro litros.

Nota: É possível que tenha encontrado um método mais rápido do que o meu, mas foi isto que me ocorreu!

Desafio 4

Imagine que há 100 dias de Natal. No n-ésimo dia, recebe £n de presente, desde £1 no primeiro dia até £100 no último. Consegue calcular o total recebido sem somar, um a um, todos os 100 valores?

Solução: Conta-se que, quando o professor de matemática colocou este problema a Carl Friedrich Gauss, o jovem matemático terá feito o seguinte:

Seja s a soma dos primeiros 100 números. Então podemos escrever: s = 1 + 2 + 3 + 4 + … + 99 + 100

Mas também podemos escrevê-la ao contrário: s = 100 + 99 + 98 + … + 4 + 3 + 2 + 1

Se somarmos agora estas duas expressões, termo a termo, vemos que do lado esquerdo fica s + s = 2s.

Do lado direito, ao somar verticalmente, cada par de termos dá sempre o mesmo resultado, 101 (1 + 100, 2 + 99, e assim sucessivamente). E, no total, há 100 termos - pelo que a conta simples do lado direito é 100 * 101 = 10,100.

Logo: 2s = 10,100 e s = 5,050. No total, recebe £5,050.

Desafio 5

Eis uma sequência de números com sabor a Natal. Os seis primeiros termos são: 9, 11, 10, 12, 9, 5 … (Nota: em algumas versões deste desafio, o quinto número é 11.) Qual é o termo seguinte?

Solução: A sequência corresponde ao número de letras em cada prenda, na ordem em que aparecem nos 12 dias de Natal. Portanto, a resposta é 5, que corresponde a cisnes. Eis a lista completa:

Perdiz (9), rolas (11), galinhas francesas (10), pássaros cantores (12), anéis de ouro (9, ou 11 para quem canta “dourados”), gansos (5), cisnes (5), criadas (5), damas (6), lordes (5), flautistas (6), tamborileiros (8).

Nota: pode parecer um desafio pouco “matemático”, mas a matemática - e, de forma mais ampla, o pensamento crítico e criativo - depende em parte de reconhecer padrões que, à primeira vista, podem parecer um pouco forçados. Durante a Segunda Guerra Mundial, o recrutamento para a sede aliada de decifração de códigos em Bletchley Park assentava, em parte, na capacidade de resolver palavras cruzadas crípticas.

Desafio 6

Qual das 100 afirmações seguintes é a única verdadeira?

Exatamente uma afirmação nesta lista é falsa.
Exatamente duas afirmações nesta lista são falsas.
… e assim sucessivamente até:
Exatamente 99 afirmações nesta lista são falsas.
Exatamente 100 afirmações nesta lista são falsas.

Solução: Só a 99.ª afirmação é verdadeira. Como existem 100 afirmações e a afirmação de ordem n declara que há exatamente n afirmações falsas na lista, isso só pode ser correto quando n = 99.

Desafio 7

Você e os seus amigos Artur e Bob estão a usar chapéus de Natal que podem ser vermelhos ou verdes. Ninguém vê o seu próprio chapéu, mas cada um consegue ver os chapéus dos outros dois. O chapéu do Artur e o do Bob são ambos vermelhos.

Dizem-vos ainda que pelo menos um dos chapéus é vermelho. O Artur afirma: “Não sei de que cor é o meu chapéu.” Depois, o Bob diz: “Não sei de que cor é o meu chapéu.” Assumindo que ambos raciocinam de forma impecável, consegue concluir que cor tem o seu chapéu de Natal?

Solução: O seu chapéu tem de ser vermelho. Se o seu chapéu fosse verde, então tanto o Artur como o Bob veriam um chapéu verde e um chapéu vermelho. Assim, no momento em que o Artur diz que não sabe a cor do seu chapéu, o Bob poderia deduzir imediatamente que o seu próprio chapéu era vermelho. Mas como o Bob também diz que não sabe a cor do chapéu, isso significa que o Bob está a ver dois chapéus vermelhos - e, portanto, conclui-se que o seu chapéu é vermelho.

Desafio 8

Há três caixas debaixo da árvore de Natal. Uma tem duas prendas pequenas, outra tem dois pedaços de carvão e a terceira tem uma prenda pequena e um pedaço de carvão. Cada caixa tem uma etiqueta a indicar o conteúdo - mas as etiquetas foram trocadas, pelo que todas as caixas estão atualmente com a etiqueta errada.

Dizem-lhe que pode tirar um único objeto de apenas uma caixa. Que caixa deve escolher, para depois conseguir trocar as etiquetas de modo a que cada uma fique correta?

Solução: Como todas as etiquetas estão erradas, se abrir a caixa que atualmente está etiquetada como “uma prenda pequena e um pedaço de carvão”, sabe à partida que vai encontrar ou duas prendas pequenas ou dois pedaços de carvão.

Imagine que abre essa caixa e vê duas prendas pequenas. Então, a etiqueta “duas prendas pequenas” tem de passar para essa caixa. E, como também sabe que as etiquetas estavam todas erradas, a etiqueta “uma prenda pequena e um pedaço de carvão” deve ir para a caixa que está neste momento etiquetada como “dois pedaços de carvão”. Por fim, a etiqueta “dois pedaços de carvão” pertence à caixa que originalmente estava etiquetada como “duas prendas pequenas”.

Desafio 9

Na cozinha há uma garrafa de um litro de sumo de laranja e uma garrafa de um litro de sumo de maçã. O Jack coloca uma colher de sopa de sumo de laranja na garrafa de sumo de maçã e mexe até ficar tudo bem misturado. Depois, a Jill tira uma colher de sopa desse líquido (da garrafa de maçã) e devolve-a à garrafa de sumo de laranja. Neste momento, há mais sumo de laranja na garrafa de maçã ou mais sumo de maçã na garrafa de laranja?

Solução: As quantidades são iguais. É um bom exemplo de “invariância” - um conceito que aparece muitas vezes em matemática.

Depois das transferências e de toda a mistura, a quantidade de sumo de laranja que passou para a garrafa de maçã teve de substituir a mesma quantidade de sumo de maçã que estava originalmente nessa garrafa, porque o volume total em cada garrafa continua a ser de um litro (ou seja, manteve-se invariável).

Esta explicação pode parecer insatisfatória na primeira leitura. Mas tirar partido da invariância permite concluir que as quantidades têm de ser iguais, sem fazer qualquer conta.

Desafio 10

Na terra natal do Pai Natal, todas as notas têm, de um lado, a imagem do Pai Natal ou da Mãe Natal e, do outro, a imagem de uma prenda ou de uma rena. Um elfo jovem coloca quatro notas em cima da mesa, mostrando as seguintes imagens, por esta ordem:

text Pai Natal | Mãe Natal | Prenda | Rena

Um elfo mais velho e mais sábio diz-lhe: “Se uma nota tiver o Pai Natal de um lado, então tem de ter uma prenda do outro.” Quais notas deve o elfo jovem virar para confirmar que o que o elfo mais velho diz é verdade?

Solução: Primeiro, o elfo jovem deve virar a nota que mostra o Pai Natal. Se do outro lado não estiver uma prenda, então o elfo mais velho está a mentir. Depois, deve virar a nota que mostra a rena, para confirmar que o Pai Natal não está do outro lado. Mais uma vez, se o Pai Natal estivesse no verso, o elfo mais velho estaria a mentir.

Pode parecer natural virar a nota da prenda. No entanto, o elfo mais velho apenas afirma “se Pai Natal, então prenda”, o que não implica “se prenda, então Pai Natal”. Assim, tanto faz se no verso da nota da prenda está o Pai Natal ou a Mãe Natal - e também é irrelevante o que está no verso da nota da Mãe Natal, porque o elfo mais velho não disse nada sobre essas notas.

Solução do desafio bónus do quiz de matemática de Natal

O Pai Natal viaja de trenó da Gronelândia até ao Polo Norte a uma velocidade de 48,3 km/h e regressa de imediato do Polo Norte para a Gronelândia a 64,4 km/h. Qual é a velocidade média de toda a viagem?

Solução: Este desafio é um bom candidato ao que o psicólogo Daniel Kahneman chamou Pensar Depressa, Pensar Devagar. O nosso pensamento rápido tende a dizer “é só fazer a média” e, por isso, poderíamos apontar 56,3 km/h. Parece razoável, mas está errado.

Aqui é preciso recorrer ao pensamento mais lento - que dá trabalho e exige ferramentas como a álgebra e o pensamento crítico. Comecemos por definir variáveis:

seja d a distância entre a Gronelândia e o Polo Norte;
seja t₁ o tempo gasto na ida;
seja t₂ o tempo gasto no regresso.

Usando a relação habitual “velocidade = distância a dividir pelo tempo”, obtemos:

48,3 = d/t₁ e 64,4 = d/t₂

Rearranjando, ficamos também com t₁ = d/48,3 e t₂ = d/64,4.

Como o Pai Natal percorre a mesma distância na ida e na volta, a distância total é 2d. E a velocidade média na viagem inteira é essa distância total a dividir pelo tempo total: 2d/(t₁ + t₂).

Com as expressões acima, a velocidade média pode escrever-se como 2d/(d/48,3 + d/64,4).

Ao efetuar as contas, chega-se a aproximadamente 55,2 km/h.

Nesta expressão, os “d” acabam por se simplificar. Isto mostra que podemos determinar a velocidade média sem saber a distância nem o tempo total da viagem. É esse o poder da álgebra: permite trabalhar com quantidades e manipulá-las como símbolos, mesmo quando não sabemos o seu valor.

A resposta é que o Pai Natal viajou a uma velocidade média de 55,2 km/h.

Neil Saunders, Professor Associado em Matemática, Departamento de Ciências Matemáticas, City St George’s, Universidade de Londres

Este artigo é republicado de The Conversation ao abrigo de uma licença CC. Leia o artigo original.