Na matemática, foi descoberta uma “porta universal”: uma operação que substitui todas as fórmulas.

Novo operador eml pode reduzir a matemática computacional a uma base única - da aritmética à trigonometria

Na matemática, pode estar a surgir um equivalente da porta lógica NAND - uma única operação a partir da qual tudo se exprime. Andrzej Odrzywolek, do Instituto de Física Teórica da Universidade Jaguelónica, apresentou um trabalho de grande impacto que pode alterar de forma profunda a forma como se entendem as operações matemáticas fundamentais.

O autor propõe um operador binário, eml(x, y) = exp(x) − ln(y), que, em conjunto com a constante 1, consegue reproduzir todo o conjunto das funções elementares - da aritmética à trigonometria. Isto significa que a matemática computacional pode ser reduzida a um único “bloco de construção”, do mesmo modo que os circuitos digitais se reduzem a portas NAND.

O estudo responde a uma questão essencial: existe para a matemática contínua um primitivo universal comparável ao NAND na lógica booleana? Até aqui, considerava-se que as funções elementares exigiam um conjunto de operações independentes - adição, multiplicação, logaritmos, trigonometria. O autor mostra que essa variedade pode, afinal, ser condensada numa só operação.

A ideia central assenta no facto de a exponencial e o logaritmo já formarem uma base quase completa para os cálculos. Por exemplo, a multiplicação pode ser escrita como exp(ln a + ln b), e a potenciação como exp(b ln a). O operador eml junta exp, ln e subtração numa única função. Nos casos mais simples, isto permite construções diretas: exp(x) = eml(x, 1), e o logaritmo pode ser expresso através de aplicações aninhadas de eml.

Desta forma, qualquer expressão passa a assumir a forma de uma árvore binária, em que cada nó corresponde à mesma operação eml. Em termos formais, isto é descrito por uma gramática do tipo S → 1 | eml(S, S). Esta estrutura difere radicalmente da notação convencional das fórmulas, onde se recorre a dezenas de operadores distintos.

Para verificar a completude desta base, o autor aplicou um teste iterativo de tipo “ablation”. Partindo de um conjunto inicial de 36 primitivos matemáticos, os elementos foram sendo retirados sucessivamente e, em seguida, testou-se se poderiam ser reconstruídos a partir dos restantes. A validação foi feita numericamente: em vez de uma demonstração simbólica, usaram-se substituições de constantes transcendentais independentes e a comparação dos valores obtidos. Isso permitiu mostrar que eml e a constante 1 formam, de facto, um conjunto completo.

A consequência prática é uma simplificação radical da regressão simbólica. Normalmente, trata-se de um problema altamente complexo, que exige heurísticas, algoritmos genéticos ou pesquisa combinatória num espaço enorme de fórmulas e operadores. Na representação com eml, todas as fórmulas tornam-se árvores homogéneas do mesmo tipo. Isto pode permitir unificar a arquitetura de hardware para cálculos matemáticos, tal como os circuitos digitais são construídos a partir de transístores idênticos ou de portas NAND. O resultado poderá ser o desenvolvimento de dispositivos computacionais mais eficientes, mais compactos e, eventualmente, mais rápidos para tarefas científicas e de engenharia.

O trabalho também descreve a possibilidade de criar um compilador EML, capaz de converter fórmulas em expressões equivalentes através de eml. Essas expressões podem ser calculadas em equipamento com uma única instrução - o próprio operador. Compiladores deste tipo podem gerar código executável em hardware EML dedicado ou ser emulados em computadores tradicionais, mas sempre com a garantia de uma estrutura unificada. Isso poderá ser útil em sistemas que exijam um elevado grau de determinismo, desempenho previsível ou minimização de recursos de hardware.

Ao mesmo tempo, surgem limitações. Para gerar algumas constantes, como π e i, os cálculos têm de passar para a área complexa, uma vez que é necessária a expressão ln(−1). Também são discutidos problemas de overflow e de precisão em cálculos de vírgula flutuante, que exigem restrições adicionais aos intervalos de valores.

Num contexto mais amplo, o estudo sugere que a estrutura das funções elementares pode ser muito mais simples do que se pensava. Se a abordagem puder ser escalada, poderá aproximar a aprendizagem automática da ciência clássica: em vez de modelos que apenas fornecem previsões, passa a existir a possibilidade de extrair automaticamente leis matemáticas exatas a partir dos dados.

O artigo não indica de forma explícita como foi realizada a verificação externa formal. A publicação no arXiv (arXiv:2603.21852v2) sugere que o trabalho passou por alguma forma de revisão, e que essa revisão continuará no âmbito de uma futura publicação numa revista científica. A versão v2 indica que o estudo poderá ter sido atualizado ou corrigido após a publicação inicial, possivelmente com base em comentários ou sugestões. No entanto, os detalhes concretos da revisão externa não são apresentados no próprio artigo. Assim, a principal verificação do trabalho foi feita pelo próprio autor, recorrendo a métodos rigorosos de cálculo e de validação.